需要预先学习：

1. 一个顶点的旅程

前面几篇笔记分别讲了变换（变换）、视图与投影（视图（摄像机）与投影）、光栅化（光栅化），每一篇都工作在某一个特定的坐标空间里。这篇笔记把它们串成一条完整的链：一个顶点从模型文件出发，到成为屏幕上的像素，中间经过哪些空间、每一步由哪个矩阵驱动、ww 分量经历了什么。

空间 又称 变换矩阵 关键操作
模型空间 局部空间（local space） —（起点） 顶点属性定义于此
世界空间 world space 模型矩阵 MM 摆放物体、光源与摄像机
视图空间 摄像机空间 / 眼睛空间（eye space） 视图矩阵 VV 摄像机移到原点、看向 −z-z
裁剪空间 clip space 投影矩阵 PP 可视区域规范化，ww 携带深度
NDC 标准化设备坐标 透视除法（除以 ww） 坐标落入 [−1,1]3[-1, 1]^3
屏幕空间 screen space 视口变换 映射到像素网格，进入光栅化

整个链路就是着色器里那句熟悉的乘法加两步硬件操作：

gl_Position = P * V * M * vec4(aPos, 1.0);   // 顶点着色器输出：裁剪空间坐标
        ↓ 硬件透视除法（xyz / w）             // NDC
        ↓ 硬件视口变换                        // 屏幕空间

注：矩阵乘法满足结合律（见 变换），CPU 侧常把 MVP=P⋅V⋅MMVP = P \cdot V \cdot M 预乘成一个矩阵再传入着色器；需要世界空间坐标（光照）时，MM 与 VPVP 分开传。离顶点最近的矩阵最先作用：PVM⋅vPVM \cdot v 表示先模型、再视图、再投影。

2. 各空间的定义

2.1 模型空间

建模软件里顶点坐标所在的空间，每个模型自带一个：原点通常在模型中心或脚底，轴向由建模习惯决定。它只在"这个模型自己"的语境下有意义，模型文件里存的数字就是模型空间坐标。

2.2 世界空间

左乘模型矩阵 MM（平移、旋转、缩放的组合，见 变换）后，顶点进入所有物体共享的世界空间。光源位置、摄像机位置、物体的世界变换都在这个世界里描述——场景搭建完成的空间。光照计算（Phong模型与Blinn-Phong模型、PBR）通常在这里进行，因为光源、视线、表面法线都需要在同一个空间里点积。

模型矩阵 MM 同时也是场景图（scene graph）父子变换的载体：父物体移动带动子物体，子物体的世界矩阵 = 父矩阵 × 子矩阵。

2.3 视图空间

左乘视图矩阵 VV 后，世界被变换到"以摄像机为中心"的空间。约定（右手系，如 OpenGL）：

  • 摄像机位于原点；
  • 看向 −z-z 方向；
  • 上方向为 +y+y，右方向为 +x+x。

VV 的构造是"把摄像机搬到标准位置"的逆过程：先平移 −e-e（摄像机位置取反），再用正交旋转把朝向对齐坐标轴（推导见 视图（摄像机）与投影）。

注：视图空间的 zz 是负值递增的——物体越远，zz 越小（−1-1、−10-10、−100-100）。很多推导（如 CSM级联阴影 的视图深度）需要取 −z-z 作为"正的深度"，写代码时最容易在这里丢一个负号。

2.4 裁剪空间

左乘投影矩阵 PP 后，顶点进入裁剪空间，这是顶点着色器输出 gl_Position 所在的空间。它的两个特征：

  1. 裁剪的舞台：图形管线在这个空间里做裁剪（clipping）——完全落在可视范围外的图元丢弃，跨越边界的图元切出新顶点。裁剪范围由 ∣x∣≤w|x| \le w、∣y∣≤w|y| \le w、∣z∣≤w|z| \le w 描述（注意是与 ww 比较，不是与 1 比较）；
  2. ww 分量开始有意义：
    • 正交投影：w=1w = 1，各分量本身就是线性映射的结果；
    • 透视投影：w=−zvieww = -z_{view}（视图空间深度的相反数），近大远小的全部秘密都存在这个 ww 里。

透视投影矩阵不是真的"投影"（没有降维），它做的是把视锥体扭曲成长方体，同时让 ww 记下"离摄像机多远"，等下一 步用。

2.5 NDC（标准化设备坐标）

裁剪空间坐标除以自身的 ww，这一步称为透视除法（perspective division）：

(xndcyndczndc)=(xclip/wyclip/wzclip/w)\begin{pmatrix} x_{ndc} \\ y_{ndc} \\ z_{ndc} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{clip}/w \\ y_{clip}/w \\ z_{clip}/w \end{pmatrix}

除法由硬件在顶点着色器之后自动执行（等价于 GLSL 的 gl_Position.xyz / gl_Position.w）。除完之后坐标落入标准立方体 [−1,1]3[-1, 1]^3——与分辨率、宽高比、视锥形状全部无关的规范形式。正交投影 w=1w = 1，除法是空操作，这就是"正交没有近大远小"的数学表述。

注：透视除法是"除以 ww"这一步把远处的 xx、yy 压小的——视锥体里远处物体 xclipx_{clip}、yclipy_{clip} 大，但 ww 同样大且成正比，除完远处物体的 NDC 坐标聚拢到中心，正是近大远小。zz 的除法同时带来非线性深度：NDC 的 zz 在近处精度高、远处精度低，这是 深度缓冲 z-fighting 与 reverse-z 的根源。

2.6 屏幕空间

视口变换把 NDC 的 xx、yy 线性映射到像素网格（推导见 光栅化）：

xscreen=width2(xndc+1),yscreen=height2(yndc+1)x_{screen} = \frac{width}{2}(x_{ndc} + 1), \quad y_{screen} = \frac{height}{2}(y_{ndc} + 1)

zz 通常被映射到 [0,1][0, 1] 写入深度缓冲。到此为止几何处理结束，接下来的故事属于 光栅化：三角形覆盖哪些像素、属性如何插值（见 透视校正插值）、片元如何通过深度测试（见 深度缓冲）。

3. 各图形 API 的差异

坐标空间的定义不是唯一的，不同 API 与不同硬件在两处约定上存在分歧，跨平台开发（引擎的 RHI 层）必须显式处理。

3.1 z 的范围

API NDC 的 z 范围 屏幕深度范围
OpenGL [−1,1][-1, 1] [−1,1][-1, 1] 映射到 [0,1][0, 1]
Direct3D / Vulkan / Metal [0,1][0, 1] [0,1][0, 1]

OpenGL 把 [0,1][0, 1] 先映射到 [−1,1][-1, 1]（投影矩阵里乘 2 减 1），硬件再映射回 [0,1][0, 1] 存深度，一来一回多了一步；D3D 系直接用 [0,1][0, 1]。

3.2 左手系与右手系

API 约定 摄像机看向
OpenGL 右手系 −z-z
Direct3D 常用左手系 +z+z
Vulkan / Metal 右手系裁剪，但 y 翻转等细节各有约定 视图空间自定，裁剪空间规范固定

左右手的差异直接影响三角形环绕顺序（winding order，见 剔除总结 的背面剔除）与叉积方向——同一份顶点数据在两个 API 下正面朝向相反，镜像缩放翻转环绕的经典 bug（剔除总结）就是它的低配版。

3.3 y 的方向

屏幕像素的 yy 轴朝向也不统一：OpenGL 窗口坐标原点在左下角（yy 向上），Direct3D 与大多数图像文件原点在左上角（yy 向下）。纹理 里 stb_image 需要垂直翻转加载，根源正是这里。

注意：跨 API 移植时，这三处差异（z 范围、手性、y 方向）要集中在一处处理——通常是投影矩阵的构造函数。引擎里 RHI 层按目标 API 生成不同的"深度修正矩阵"，上层代码完全无感，这是图形抽象层的价值之一。

4. 法线的特殊旅程

上面的链路是位置的旅程，法线不能直接乘模型矩阵（推导与原因见 Phong模型与Blinn-Phong模型 的正规矩阵一节）：非等比缩放会破坏垂直性，法线必须左乘模型矩阵左上 3×33\times 3 的逆转置矩阵（normal matrix）：

nworld=normalize((M−1)T⋅nmodel)n_{world} = \text{normalize}\left( (M^{-1})^{T} \cdot n_{model} \right)

旋转与等比缩放下逆转置可以化简（正交矩阵的逆是转置，等比缩放只影响长度），所以"没有非等比缩放时直接 mat3(model) 也能用"——但正确性只有在逆转置下才严格成立。变换后必须重新归一化：插值会破坏单位长度（见 透视校正插值）。

5. 小结

一张表收拢全部要点：

步骤 执行者 输入 → 输出 ww 的变化
模型变换 顶点着色器 模型 → 世界 恒为 1
视图变换 顶点着色器 世界 → 视图 恒为 1
投影变换 顶点着色器 视图 → 裁剪 透视：w=−zvieww = -z_{view}；正交：w=1w = 1
裁剪 固定功能阶段 裁剪空间内剔除/切割图元 不变
透视除法 固定功能阶段 裁剪 → NDC 变为 1
视口变换 固定功能阶段 NDC → 屏幕 不再参与
属性插值 光栅化 顶点属性 → 片元属性 需要透视校正（见 透视校正插值）

两个贯穿始终的主线：

  1. 规范化的动机：把各种形状的可视区域统一到 [−1,1]3[-1,1]^3，让裁剪、光栅化等后续阶段不必关心视锥长什么样——与 视图（摄像机）与投影 的标准立方体、纹理映射 的 [0,1][0,1] UV 是同一种设计哲学；
  2. ww 的生命周期：齐次坐标引入 ww 是为了统一平移（变换），透视投影赋予它深度的职责，透视除法兑现它——理解 ww 在每一步的值，是排查坐标变换 bug 的第一手段：把中间坐标打印出来，先检查 ww。