需要预先学习：

1. 插值

在渲染管线中，光栅化阶段（见着色与渲染管线）需要为三角形内部的每个片元确定颜色、法线、纹理坐标等属性，而顶点只提供了属性在三个顶点处的值。三角形内部的属性要靠插值（interpolation）推算：已知离散的顶点值，估计连续区域内的值。

1.1 线性插值

线性插值（linear interpolation）是最基本的插值方式：在两个已知值之间按比例取中间值。一维情况下，在 $a$ 、 $b$ 之间按参数 $t \in [0, 1]$ 插值：

$lerp(a, b, t) = (1 - t) \cdot a + t \cdot b$

$t = 0$ 得到 $a$ ， $t = 1$ 得到 $b$ ， $t = 0.5$ 得到中点。这个式子对二维点、三维向量同样成立，逐分量计算即可。

1.2 重心坐标

三角形内部任意一点的位置可以用重心坐标（barycentric coordinates）表示：用三个非负权重 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 描述点相对三个顶点的占比：

$P = \alpha A + \beta B + \gamma C, \quad \alpha + \beta + \gamma = 1$

其中 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是三角形三个顶点。点 $P$ 在三角形内部，当且仅当 $\alpha, \beta, \gamma \ge 0$ 。

重心坐标有直观的几何意义——面积比： $\alpha$ 等于点 $P$ 与边 $BC$ 围成的小三角形面积占整个三角形的比例，其余两个同理：

$\alpha = \frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}}, \quad \beta = \frac{S_{\triangle PCA}}{S_{\triangle ABC}}, \quad \gamma = \frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle ABC}}$

实际计算时用向量叉积求面积，或者直接解线性方程组。值得一提的关联：光栅化中判断"点是否在三角形内"的叉积法，其实就是在判断三个权重是否同号——三个叉积的符号统一，等价于 $\alpha, \beta, \gamma$ 都非负。

有了重心坐标，三角形内部任意属性都可以插值。已知三个顶点处的属性值 $V_A$ 、 $V_B$ 、 $V_C$ ，点 $P$ 处的属性为：

$V_P = \alpha V_A + \beta V_B + \gamma V_C$

这就是属性插值。光栅化阶段用它插值颜色、法线，纹理映射中的 UV 坐标也靠它插值。

注：屏幕空间的重心坐标不能直接套用。透视投影下，屏幕上的插值比例与三维空间中的插值比例不一致，直接插值会产生透视扭曲。

2. 纹理映射（Texture Mapping）

回顾着色与渲染管线中的 Blinn-Phong 模型：漫反射系数 $k_d$ 是一个常数，整个物体只有一个颜色，无法表现斑马条纹、木纹这类表面细节。纹理映射（texture mapping）解决这个问题——把一张图片（纹理，texture）贴到三维表面上，让着色器从纹理中查询每个点的颜色，用它作为漫反射系数。

2.1 纹理与纹理坐标

纹理是一张二维图片，由纹素（texel，texture element，纹理的基本单元，对应屏幕上的像素）组成。要把纹理贴到表面，每个顶点需要指定一个纹理坐标（texture coordinate，也称 UV 坐标），记作 $(u, v)$ ，取值范围约定为 $[0, 1]$ ：

坐标	含义
$u$	纹理横向位置，0 到 1 从左到右
$v$	纹理纵向位置，0 到 1 从下到上

$(0, 0)$ 对应纹理左下角， $(1, 1)$ 对应右上角。

注： $v$ 轴方向在不同 API 中可能有差异（有的以左上角为原点），具体以所用图形 API 的约定为准。

2.2 纹理映射的实现流程

纹理映射贯穿渲染管线的几个阶段：

建模阶段：在顶点上指定 UV 坐标，相当于把模型表面"展开"后对应到纹理图片上；
光栅化阶段：三角形内部每个片元的 UV 由三个顶点的 UV 用重心坐标插值得到；
片元处理阶段：用片元的 UV 到纹理中采样（sample）颜色，得到该点的漫反射系数 $k_d$ ，代入着色模型计算颜色。

第三步的采样本质是查表：UV 落在哪个纹素附近，就取哪个纹素的颜色。

// 伪代码：片元着色中用纹理颜色替代常数漫反射系数
Vec3 fragment_shading(const Vec2& uv, ...)
{
    Vec3 k_d = texture.sample(uv);   // 从纹理采样漫反射颜色
    return blinn_phong(k_d, ...);    // 代入 Blinn-Phong 计算
}

2.3 纹理采样与双线性插值

UV 是连续值，很少恰好落在某个纹素中心。最简单的最近邻采样（nearest neighbor）直接取距离最近的纹素，速度快但画面会出现明显的块状锯齿，纹理被放大时尤其严重。

双线性插值（bilinear interpolation）改善这种情况：取 UV 周围 2×2 的四个纹素，先在水平方向做两次线性插值，再在竖直方向做一次，得到平滑的过渡：

设 u 落在纹素列 u0 与 u1 之间，v 落在纹素行 v0 与 v1 之间

水平方向：   c0 = lerp(tex(u0, v0), tex(u1, v0), u - u0)
            c1 = lerp(tex(u0, v1), tex(u1, v1), u - u0)
竖直方向：color = lerp(c0, c1, v - v0)

2.4 MipMap

纹理缩小（minification）时，多个纹素挤进一个像素，密集细节在采样下出现摩尔纹（见光栅化的走样），时间上还会表现为闪烁——不同帧的采样位置不同，画面抖动。问题根源与光栅化中的走样相同：采样频率不足。

MipMap（multum in parvo，拉丁语"许多东西放在一个小地方"）是预生成的纹理金字塔：原始纹理作为第 0 级，每一级把边长缩小一半（面积缩小到四分之一），直到 1×1，级别数约为 $\log_2 S$ （ $S$ 为最长边）：

级别	分辨率	适用场景
level 0	原始纹理	像素覆盖的纹素很少（近处）
level 1	边长减半	稍远
level 2	边长再减半	更远
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$

核心思想：根据像素覆盖的纹理区域大小选择合适分辨率的级别——远处一个像素覆盖很多纹素，就去低分辨率级别采样，等效于预先完成了低通滤波（呼应光栅化中"先模糊再采样"的反走样思路）。

级别选择：用屏幕相邻像素的 UV 差分，估计当前像素在纹理空间覆盖区域的大小。设 UV 对屏幕坐标的偏导数为 $\frac{du}{dx}$ 、 $\frac{dv}{dx}$ 、 $\frac{du}{dy}$ 、 $\frac{dv}{dy}$ ，像素覆盖区域近似为边长 $L$ 的正方形：

$L = \max\left(\sqrt{\left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \left(\frac{dv}{dx}\right)^2},\ \sqrt{\left(\frac{du}{dy}\right)^2 + \left(\frac{dv}{dy}\right)^2}\right)$

再取对数得到级别 $D = \log_2 L$ 。这些偏导数 GPU 硬件可以直接计算。

三线性插值（trilinear interpolation）： $D$ 通常不是整数，先在 $D$ 、 $D+1$ 两级内分别做双线性插值，再按小数部分对两个结果做一次线性插值，得到平滑的过渡，这就是三线性过滤（trilinear filtering）。

存储代价：所有级别加起来比原始纹理多约 $\frac{1}{3}$ 的存储量（ $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \cdots = \frac{1}{3}$ ）。

2.5 各向异性过滤

MipMap 假设像素在纹理空间覆盖的是正方形区域，用边长 $L$ 一个数描述。但斜着看表面时（比如俯视地面），像素覆盖的纹理区域其实是细长的长方形——沿某个方向拉伸得很厉害，正方形假设失效，MipMap 只能取较模糊的级别，远处纹理依然发糊。

各向异性过滤（anisotropic filtering）针对这种情况：不再按单一的正方形采样，而是沿拉伸方向多次采样（次数称各向异性程度，常见 2x、4x、8x、16x）后取平均，让斜向表面也保持清晰。代价是采样次数增加、性能开销变大，是目前 GPU 上最常用的高质量纹理过滤方式。