PBR

需要预先学习：

• Phong模型与Blinn-Phong模型
• 渲染方程与重要性采样

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1. PBR 基于物理的渲染

Phong模型与Blinn-Phong模型 中的两个模型都是经验模型（empirical model）：用环境光、漫反射、高光三项拼凑出"看起来对"的结果，系数（shininess、ambientStrength）没有物理含义，换个光照环境就得重新调参。

PBR（Physically Based Rendering，基于物理的渲染）从物理规律出发建立反射模型：能量守恒、微表面反射、菲涅尔效应都被显式建模，材质参数直接对应真实世界的属性（金属度、粗糙度）。同一套参数在任何光照环境下都成立，这是 PBR 被游戏与影视工业广泛采用的原因。这篇笔记介绍渲染方程与 Cook-Torrance BRDF，并给出直接光照的 GLSL 实现。

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2. 渲染方程与 BRDF

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2.1 辐射度量学速览

描述光的能量需要一套度量单位，辐射度量学（radiometry）提供这套语言：

物理量	符号	含义	单位
辐射通量	$\Phi$	单位时间通过的能量	W
辐射强度	$I$	单位立体角的辐射通量	$\text{W}/\text{sr}$
辐照度	$E$	单位面积的辐射通量	$\text{W}/\text{m}^2$
辐射亮度	$L$	单位面积、单位立体角的辐射通量	$\text{W}/(\text{m}^2 \cdot \text{sr})$

其中立体角（solid angle）是二维角度的推广：一个锥体在单位球面上截出的面积。半径为 $r$ 的球面上，面积 $A$ 对应的立体角为 $\Omega = A / r^2$，单位是球面度（steradian，sr）。整个球面的立体角是 $4\pi$。

着色关心的量是辐射亮度 $L$：它同时固定了"从哪个方向来、打在哪个面上"，是渲染方程的基本输入输出。光强随距离平方衰减（见 着色与渲染管线 的 $\frac{I}{r^2}$）在辐射度量学里的来源是：同样的辐射通量摊到更大的球面上，单位面积的量变小。

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2.2 BRDF 与渲染方程

一个表面点把来自各方向的光反射到各方向，这个映射由 BRDF（Bidirectional Reflectance Distribution Function，双向反射分布函数）描述。它回答的问题是：来自方向 $\omega_i$ 的入射光，有多少被反射到出射方向 $\omega_o$？

$$f_r(\omega_i, \omega_o) = \frac{dL_o(\omega_o)}{dE_i(\omega_i)}$$

把它代入渲染方程（rendering equation）——出射亮度等于自发光加上所有入射方向反射亮度的积分：

$$L_o(p, \omega_o) = L_e(p, \omega_o) + \int_{\Omega} f_r(p, \omega_i, \omega_o)\, L_i(p, \omega_i)\, (\mathbf{n} \cdot \omega_i)\, d\omega_i$$

• $L_i$：方向 $\omega_i$ 射来的入射亮度；
• $\mathbf{n} \cdot \omega_i$：Lambert 余弦项（见 着色与渲染管线），倾斜入射的有效能量；
• 积分范围 $\Omega$：法线方向所在的半球面。

渲染方程把"反射"描述为所有入射方向贡献的积分。实时渲染无法直接求积分，只能对有限的光源求和——PBR 的直接光照部分就是这样做的。

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3. 微表面模型与 Cook-Torrance BRDF

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3.1 微表面模型

宏观上光滑的表面，放大到微观尺度其实是凹凸不平的，由大量朝向各异的微小镜面（microfacet）组成。每个微表面只沿自己的镜像方向反射光——微表面模型（microfacet model）假设反射只发生在微表面上，宏观的反射特性由微表面朝向的统计分布决定：

• 粗糙表面：微表面朝向杂乱，反射光散开，高光宽而暗；
• 光滑表面：微表面朝向接近，反射光集中，高光窄而亮。

微表面模型的能量守恒体现在：反射出去的能量不能超过入射能量。粗糙度越高，微表面间互相遮蔽与自遮挡越严重，高光越弱——这部分由几何遮蔽项建模。

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3.2 Cook-Torrance BRDF

Cook-Torrance BRDF 是目前最常用的微表面反射模型，把反射分解为漫反射与高光两项：

$$f_r = k_d f_{lambert} + k_s f_{cook-torrance}$$

$$f_{lambert} = \frac{c}{\pi}, \qquad f_{cook-torrance} = \frac{DFG}{4\,(\omega_o \cdot \mathbf{n})\,(\omega_i \cdot \mathbf{n})}$$

• $f_{lambert}$：Lambert 漫反射项，$c$ 是表面颜色（albedo），除以 $\pi$ 保证半球积分后能量守恒；
• $f_{cook-torrance}$：高光项，由三个函数相乘：
  • $D$：法线分布函数（Normal Distribution Function），描述微表面朝向的统计分布；
  • $G$：几何函数（Geometry Function），描述微表面间的自遮挡；
  • $F$：菲涅尔项（Fresnel），描述反射能量与入射角的关系。

分母 $4(\omega_o \cdot \mathbf{n})(\omega_i \cdot \mathbf{n})$ 是微表面模型的几何修正项，保证能量守恒。$k_d$、$k_s$ 是漫反射与高光的能量比例，由菲涅尔项决定（见下文金属度工作流）。

法线分布函数 D

$D$ 回答：有多少微表面的法线恰好朝向半程向量 $\mathbf{h}$？GGX（Trowbridge-Reitz）分布是目前的主流选择：

$$D_{GGX}(\mathbf{h}) = \frac{\alpha^2}{\pi \left[ (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^2 (\alpha^2 - 1) + 1 \right]^2}$$

$\alpha$ 是粗糙度 $r$ 的平方（$\alpha = r^2$）。$\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}$ 接近 1 的微表面数量决定高光亮度：粗糙度越小，分布越集中于 $\mathbf{h}$ 附近，高光越亮越窄。GGX 相比早期模型（如 Beckmann）有更长的"拖尾"，高光边缘过渡更自然。

几何函数 G

$G$ 描述微表面的两种自遮挡：

• 遮蔽（shadowing）：入射光被相邻微表面挡住；
• 遮挡（masking）：出射光被相邻微表面挡住。

两者都随粗糙度加剧。常用 Smith 模型，由 Schlick-GGX 近似：

$$G_{SchlickGGX}(\mathbf{n}, \mathbf{v}) = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}}{(\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})(1 - k) + k}, \qquad k = \frac{(r + 1)^2}{8}$$

$$G = G_{SchlickGGX}(\mathbf{n}, \mathbf{v})\, G_{SchlickGGX}(\mathbf{n}, \mathbf{l})$$

入射与出射方向各算一次相乘。掠射角下 $\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}$ 趋近于 0，$G$ 急剧变小——这正是粗糙表面在掠射角高光变暗的物理来源（Phong模型与Blinn-Phong模型 中 Blinn-Phong 无法表现这个现象）。

菲涅尔项 F

菲涅尔效应（Fresnel effect）：光斜射到表面时反射率升高——掠射角下任何表面都像镜子。Schlick 近似：

$$F = F_0 + (1 - F_0)\,(1 - \mathbf{h} \cdot \mathbf{v})^5$$

$F_0$ 是法线方向（垂直入射）的反射率，是材质的关键参数：

材质	$F_0$
电介质（非金属，如塑料、木头）	约 0.04（几乎所有电介质都接近这个值）
金属（如铁、金）	0.5 ~ 1.0，且带颜色（albedo 本身）

注：菲涅尔项在 光线追踪 中已经出现过——反射光线与折射光线的权重分配就由它决定。PBR 里它同样决定高光强度，而且这个强度是随视角变化的，不是常数。

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3.3 金属度-粗糙度工作流

金属与电介质的反射行为差异巨大：金属没有漫反射（光被吸收再反射，呈 albedo 颜色），电介质有漫反射且 $F_0$ 恒定 0.04。金属度-粗糙度工作流（metallic-roughness workflow）用两个参数统一描述所有材质：

• 金属度（metallic）：0 表示电介质，1 表示金属；
• 粗糙度（roughness）：0 光滑，1 粗糙；
• albedo：电介质时是漫反射颜色，金属时是高光颜色（$F_0$）。

由金属度推导 $F_0$ 与能量分配：

$$F_0 = \text{mix}(0.04, \text{albedo}, \text{metallic}), \qquad k_d = (1 - F)(1 - \text{metallic})$$

$k_s = F$：菲涅尔项本身就是高光的能量比例。金属的 $k_d = 0$，没有漫反射；电介质的 $F_0 = 0.04$，高光弱、漫反射主导。这就是 PBR 材质只需要三个参数的原因——物理规律替你算好了其余一切。

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4. GLSL 实现

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4.1 材质参数与函数框架

先实现 Cook-Torrance 的三个核心函数。材质参数用 uniform 传入：albedo、metallic、roughness，再加光源数组。

#version 330 core

const float PI = 3.14159265359;

in vec3 FragPos;    // 世界空间位置
in vec3 Normal;     // 世界空间法线（已由正规矩阵变换）

uniform vec3 albedo;          // 表面颜色：电介质漫反射色 / 金属高光色
uniform float metallic;       // 金属度，0.0 电介质，1.0 金属
uniform float roughness;      // 粗糙度，0.0 光滑，1.0 粗糙

#define MAX_LIGHTS 4
uniform vec3 lightPos[MAX_LIGHTS];      // 点光源位置（世界空间）
uniform vec3 lightColor[MAX_LIGHTS];    // 光源颜色（光强）
uniform int lightCount;

uniform vec3 viewPos;                   // 摄像机位置（世界空间）

out vec4 FragColor;

/*
 *  法线分布函数（GGX）
 *
 *  参数：
 *      N   表面法线，已归一化
 *      H   半程向量，已归一化
 *      roughness   粗糙度 r，alpha = r * r
 *
 *  返回：
 *      朝向半程向量的微表面密度
 */
float distributionGGX(vec3 N, vec3 H, float roughness)
{
    float a  = roughness * roughness;
    float a2 = a * a;

    float NdotH  = max(dot(N, H), 0.0);
    float NdotH2 = NdotH * NdotH;

    float denom = (NdotH2 * (a2 - 1.0) + 1.0);
    denom = PI * denom * denom;
    return a2 / denom;
}

/*
 *  几何函数（Smith-Schlick-GGX 的单方向部分）
 *
 *  参数：
 *      NdotV       n 点乘 v 或 n 点乘 l（已钳制非负）
 *      roughness   粗糙度
 *
 *  返回：
 *      该方向上的遮蔽/遮挡系数
 */
float geometrySchlickGGX(float NdotV, float roughness)
{
    float r = roughness + 1.0;
    float k = (r * r) / 8.0;

    return NdotV / (NdotV * (1.0 - k) + k);
}

/*
 *  几何函数（Smith 模型，入射出射各一次）
 */
float geometrySmith(vec3 N, vec3 V, vec3 L, float roughness)
{
    float NdotV = max(dot(N, V), 0.0);
    float NdotL = max(dot(N, L), 0.0);

    return geometrySchlickGGX(NdotV, roughness) *
           geometrySchlickGGX(NdotL, roughness);
}

/*
 *  菲涅尔项（Schlick 近似）
 *
 *  参数：
 *      cosTheta    h 点乘 v
 *      F0          垂直入射反射率（由金属度推导）
 *
 *  返回：
 *      当前视角下的反射率（RGB）
 */
vec3 fresnelSchlick(float cosTheta, vec3 F0)
{
    return F0 + (1.0 - F0) * pow(1.0 - cosTheta, 5.0);
}

注：GGX 的 $\alpha = r^2$ 与几何函数的 $k = \frac{(r+1)^2}{8}$ 都来自经验拟合，不同实现略有差异，但不影响整体观感。关键是粗糙度只在 $D$、$G$ 里出现，$F$ 与粗糙度无关——高光的颜色只由菲涅尔决定。

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4.2 直接光照

对每个光源，把 Cook-Torrance 公式与渲染方程逐项对应：光源即一个方向的 $L_i$，积分退化为求和。能量分配遵循金属度工作流：

/*
 *  直接光照：对每个光源累加 Cook-Torrance 高光与漫反射
 *
 *  参数：
 *      N   片元法线（世界空间，已归一化）
 *      V   片元指向摄像机（世界空间，已归一化）
 *
 *  返回：
 *      该片元从所有点光源接收的辐射亮度
 */
vec3 calcDirectLight(vec3 N, vec3 V)
{
    vec3 Lo = vec3(0.0);

    for (int i = 0; i < lightCount; ++i)
    {
        // 每个光源的入射方向、半程向量与辐射亮度
        vec3 L = normalize(lightPos[i] - FragPos);
        vec3 H = normalize(V + L);

        float dist = length(lightPos[i] - FragPos);
        float attenuation = 1.0 / (dist * dist);    // 距离平方衰减
        vec3 radiance = lightColor[i] * attenuation;

        // Cook-Torrance 高光项：D * G * F / (4 * NdotV * NdotL)
        float NDF = distributionGGX(N, H, roughness);
        float G   = geometrySmith(N, V, L, roughness);

        // F0：电介质 0.04，金属取 albedo，按金属度混合
        vec3 F0 = mix(vec3(0.04), albedo, metallic);
        vec3 F  = fresnelSchlick(max(dot(H, V), 0.0), F0);

        vec3 numerator    = NDF * G * F;
        float denominator = 4.0 * max(dot(N, V), 0.0) * max(dot(N, L), 0.0) + 0.0001;
        vec3 specular = numerator / denominator;    // 加 0.0001 防止除零

        // 能量分配：菲涅尔项 kS 决定高光占比，其余为漫反射
        // 金属（metallic == 1）没有漫反射，kD 为 0
        vec3 kS = F;
        vec3 kD = (1.0 - kS) * (1.0 - metallic);

        float NdotL = max(dot(N, L), 0.0);
        Lo += (kD * albedo / PI + specular) * radiance * NdotL;
    }

    return Lo;
}

void main()
{
    vec3 N = normalize(Normal);
    vec3 V = normalize(viewPos - FragPos);

    vec3 Lo = calcDirectLight(N, V);

    // 环境光：PBR 的间接光照需要 IBL，这里先用常数近似（见文末）
    vec3 ambient = vec3(0.03) * albedo;

    FragColor = vec4(ambient + Lo, 1.0);
}

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4.3 与 Blinn-Phong 的对比

维度	Blinn-Phong	PBR（Cook-Torrance）
高光核心	$\max(0, \mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^p$	$\frac{D \cdot G \cdot F}{4(\mathbf{n} \cdot \mathbf{v})(\mathbf{n} \cdot \mathbf{l})}$
高光强度	常数 $k_s$	菲涅尔项，随视角变化
掠射角行为	高光始终按 $k_s$ 衰减	菲涅尔增强反射，粗糙面高光变暗
能量守恒	不保证	显式建模（分母修正、kD/kS 分配）
参数含义	无物理意义	metallic / roughness 直接对应材质属性
调参	换环境需重新调	一套参数跨环境通用

注：PBR 不是"更高级的 Blinn-Phong"，两者是不同目标下的设计：Blinn-Phong 追求便宜与可控，PBR 追求物理一致。很多实时引擎用 Blinn-Phong 处理廉价材质、用 PBR 处理主角与场景关键物体，两者可以共存。

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5. 环境光照与 IBL

上面的实现把环境光当成常数，但 PBR 的漫反射与高光都需要方向性的间接光：间接光从四面八方射来，每个方向都要按 BRDF 积分——这就是 IBL（Image Based Lighting，基于图像的光照）：用一张环境贴图（cubemap，见 纹理）记录周围环境的光照，渲染方程中的半球积分用预计算代替：

• 漫反射 IBL：把环境贴图按余弦权重预滤波成一张模糊贴图，采样一次即可；
• 高光 IBL：按粗糙度把环境贴图预滤波成 mipmap 链（粗糙度越高越模糊），再配合 BRDF 查找表（LUT）采样。

IBL 让 PBR 材质在"环境光"下也保持能量守恒与金属度表现——金属物体反射出环境的颜色，粗糙金属的反射是模糊的——这是 PBR 观感完整的最后一块。预计算的思路（把昂贵的积分提前算好存起来）与 ShadowMap与PCF、PCSS 的阴影贴图、纹理 的 mipmap 一脉相承：实时渲染就是用预计算换实时性。

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