获取任意坐标系下的一点

坐标系约定

约定当前坐标系是标准正交的右手系（$\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$ 为单位正交基），且两个坐标系的原点重合。设当前坐标系的三个基向量为 $\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}$，新坐标系的三个基向量为 $\overrightarrow{r}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{f}$。

则，对于当前坐标系而言，当然有：

$$\hat{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \hat{z} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

对新坐标系的唯一约束是：$\overrightarrow{r}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{f}$ 线性无关（三者不共面），可以构成一组基底。

这里不要求它们是单位向量，也不要求两两垂直。

目标

找到一个矩阵 $A$，使得对当前坐标系下的任意一点 $\overrightarrow{p} = (a, b, c)^{T}$ 满足：$A\overrightarrow{p}$ 就是新坐标系下的 $(a, b, c)^{T}$ 在当前坐标系下的坐标。

简言之，要找一个 $A$，使得

$$A\overrightarrow{p} = a\overrightarrow{r} + b\overrightarrow{u} + c\overrightarrow{f}$$

矩阵 $A$ 的作用是：把"新坐标系下的坐标"翻译成"当前坐标系下的坐标"。

推导步骤

将 $\overrightarrow{p}$ 拆分为沿 $\hat{x}$、$\hat{y}$、$\hat{z}$ 三个方向的分量 $a$、$b$、$c$：

$$\overrightarrow{p} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} = a\hat{x} + b\hat{y} + c\hat{z}$$

只考虑沿 $\hat{x}$ 轴的分量，假设 $3 \times 3$ 矩阵的第一列是 $\overrightarrow{r}$（即 $\overrightarrow{r}$ 在当前坐标系下的坐标为 $(x_{r}, y_{r}, z_{r})^{T}$，其中 $x_{r}$、$y_{r}$、$z_{r}$ 是它的三个分量，都是标量），则有：

$$\begin{pmatrix} x_{r} & ? & ?\\ y_{r} & ? & ? \\ z_{r} & ? & ? \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{r} a \\ y_{r} a \\ z_{r} a \end{pmatrix} = a\overrightarrow{r}$$

后者与 $\overrightarrow{r}$ 共线（$a > 0$ 时同向，$a < 0$ 时反向），长度是 $|a| \cdot \|\overrightarrow{r}\|$。也就是说，这一步得到了 $a\overrightarrow{r}$ 在当前坐标系下的坐标。

注：这里并不是"投影"。把 $a\hat{x}$ 投影到 $\overrightarrow{r}$ 方向上得到的是 $\dfrac{a \hat{x} \cdot \overrightarrow{r}}{\|\overrightarrow{r}\|^{2}}\,\overrightarrow{r}$，一般并不等于 $a\overrightarrow{r}$；真正的"求坐标、求投影"是反方向的变换 $A^{-1}$ 在做的事。

类似地，如果矩阵的第二列、第三列分别是 $\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{f}$，可以得到 $b\overrightarrow{u}$ 在当前坐标系下的坐标、$c\overrightarrow{f}$ 在当前坐标系下的坐标。

$$\begin{pmatrix} x_{r} & x_{u} & x_{f} \\ y_{r} & y_{u} & y_{f} \\ z_{r} & z_{u} & z_{f} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{u} b \\ y_{u} b \\ z_{u} b \end{pmatrix} = b\overrightarrow{u}$$

$$\begin{pmatrix} x_{r} & x_{u} & x_{f} \\ y_{r} & y_{u} & y_{f} \\ z_{r} & z_{u} & z_{f} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{f} c \\ y_{f} c \\ z_{f} c \end{pmatrix} = c\overrightarrow{f}$$

矩阵乘法对向量是线性的，把三个分量加起来，就得到这个矩阵对 $\overrightarrow{p}$ 的完整作用：

$$A\overrightarrow{p} = \begin{pmatrix} x_{r} & x_{u} & x_{f} \\ y_{r} & y_{u} & y_{f} \\ z_{r} & z_{u} & z_{f} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = a\overrightarrow{r} + b\overrightarrow{u} + c\overrightarrow{f}$$

其中 $A$ 的每一列既是新基向量在当前坐标系下的坐标，也是旧基向量在 $A$ 作用下的像：

$$A\hat{x} = \overrightarrow{r}, \qquad A\hat{y} = \overrightarrow{u}, \qquad A\hat{z} = \overrightarrow{f}$$

所以 $A$ 是把「新坐标系下的坐标」翻译成「当前坐标系下的坐标」的基变换矩阵（两个坐标系原点重合，因此它只有线性部分，不含平移）。

它是否退化成旋转矩阵取决于 $\overrightarrow{r}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{f}$ 的性质：只有当新基是标准正交基、且新坐标系同为右手系时，$A$ 才是纯旋转。

注意事项

1. $A$ 一般不是 正交矩阵。$A$ 的列就是 $\overrightarrow{r}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{f}$，新基的性质直接表示在矩阵里：

   • 列的模长就是各轴的缩放因子，列与列不垂直就带来剪切
   • 只要三者不全为单位向量、或者不两两垂直，就有 $A^{T}A \neq I$、$A^{-1} \neq A^{T}$
   • 若 $\overrightarrow{r}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{f}$ 两两正交但长度不为 1，可按 $A = R S$ 拆开，其中 $S = \mathrm{diag}(\|\overrightarrow{r}\|, \|\overrightarrow{u}\|, \|\overrightarrow{f}\|)$ 是各轴的缩放、$R$ 是把三列单位化后得到的旋转矩阵，于是 $A^{-1} = S^{-1}R^{T}$；
   • 若三者连正交都不满足（含剪切），则要用极分解 $A = RU$

2. $A$ 是 正交矩阵 的充要条件是 $\overrightarrow{r}, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{f}$ 两两正交且都是单位向量（即标准正交基）。

3. 若还要求 $A$ 是纯旋转（不叠加镜像），需要 $\det A = \overrightarrow{r} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{f}) = +1$，即新坐标系同样是右手系

   • $\det A = -1$ 则是旋转叠加一次镜像
   • $|\det A|$ 等于 $\overrightarrow{r}$、$\overrightarrow{u}$、$\overrightarrow{f}$ 张成的平行六面体体积