正交矩阵（orthogonal matrix）是满足 QTQ=QQT=IQ^T Q = Q Q^T = I 的实方阵，最核心的性质是它的逆等于它的转置：Q−1=QTQ^{-1} = Q^T。

这个条件有几组彼此等价的说法：

  • 列向量（或行向量）构成标准正交基：任意两列的点积为 0，每列的长度为 1，即 qiTqj=δijq_i^T q_j = \delta_{ij}
  • 保持长度、内积与夹角：∣Qv∣=∣v∣|Qv| = |v|、(Qu)⋅(Qv)=u⋅v(Qu) \cdot (Qv) = u \cdot v，也就是不拉伸、不剪切
  • 行列式为 ±1\pm 1：det⁡Q=+1\det Q = +1 是纯旋转（proper rotation），det⁡Q=−1\det Q = -1 相当于一次旋转再叠加一次镜像（reflection）
  • 正交矩阵的转置、逆、乘积仍然是正交矩阵

二维、三维的旋转矩阵都是正交矩阵，以绕 zz 轴旋转为例，它的逆就是转置，也等于反向旋转：

Rz(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001),Rz−1(θ)=RzT(θ)=Rz(−θ)R_z(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad R_z^{-1}(\theta) = R_z^{T}(\theta) = R_z(-\theta)

图形学里很多"求逆"都可以因此免掉：视图矩阵的旋转部分、TBN 基、坐标系之间的轴转换、四元数转出来的旋转矩阵……只要是正交矩阵，逆就是 transpose

旋转与镜像都是正交的，非等比缩放、平移不是。所以非等比缩放下模型矩阵的法线必须乘逆转置 (M−1)T(M^{-1})^T，不能直接用左上 3×33 \times 3；也正因为浮点误差会让旋转矩阵的列慢慢变长、失去垂直性，引擎会定期对缓存的旋转矩阵、四元数重新做一次正交化（Gram-Schmidt 或归一化）来纠正漂移。