齐次坐标表示法

齐次（homogeneous）坐标表示法：一个三维的坐标可以使用四个值来进行表示，即 $v=(v_x, v_y, v_z, v_w)^T$ 代表一个点，通常情况下：

• $v=(v_x, v_y, v_z, 1)^T$ 代表一个点
• $v=(v_x, v_y, v_z, w)^T$ 代表三维点 $(\frac{v_x}{w}, \frac{v_y}{w}, \frac{v_z}{w})^T$
• $v=(v_x, v_y, v_z, 0)^T$ 代表一个向量

对于向量取 $w = 0$ 有以下原因：

• 向量只有方向和长度，没有位置，平移对向量没有意义，$w = 0$ 恰好保证向量乘平移矩阵后保持不变；
• $w$ 分量让齐次坐标下的加减运算对应了实际含义：点减点得向量（$1 - 1 = 0$）、点加向量得点（$1 + 0 = 1$）、向量加向量得向量（$0 + 0 = 0$）

不难发现，在齐次坐标下，同一个点的写法不唯一。常见的有：$(x,y,z,1)$ 和 $(kx,ky,kz,k)$ 表示同一个点（当前，其中要求 $k \neq 0$）。