平面的表示方式

平面最核心的信息是它的法向量 $n$ 以及它到原点的距离，围绕这两点有几种常见的表示方式：

• 点法式：已知平面上一点 $p_0$ 和法向量 $n$，点 $p$ 在平面上当且仅当 $n \cdot (p - p_0) = 0$
• 一般式：$Ax + By + Cz + D = 0$，此时法向量为 $n = (A, B, C)^T$
• 三点式：三个不共线的点 $p_0, p_1, p_2$ 确定一个平面，法向量为 $n = (p_1 - p_0) \times (p_2 - p_0)$
• 齐次表示：用四维向量 $p = (n_x, n_y, n_z, D)^T$ 表示平面，与 齐次坐标表示法 配合时，点 $x$ 在平面上当且仅当 $p^T x = 0$
• 参数式：$p = p_0 + s\,u + t\,v$，其中 $u, v$ 是平面内两个不共线的向量

前三种方式描述的是同一个平面，只是已知条件不同；在渲染与求交时，一般式（隐式方程）用得最多，参数式则常用于光线求交与几何生成的场景。