透视校正插值

需要预先学习：

• 光栅化
• 纹理映射
• 坐标空间总览

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1. 屏幕空间插值的问题

纹理映射 介绍过属性插值：光栅化阶段用重心坐标（barycentric coordinates）把顶点属性（颜色、法线、UV）推算到三角形内部每个片元。纹理映射 的注里留了一个悬念：屏幕空间的重心坐标不能直接用于属性插值，透视投影下会产生扭曲。

先看症状。一块斜着放的地板（或墙），用均匀的棋盘格纹理铺满：

正确（透视校正）            错误（屏幕空间直接插值）
┌────┬──┬──┬────┐          ┌──┬──┬──┬──┬──┐
│    │  │  │    │          │  │  │  │  │  │   ← 远处：格子应越来越密
│    │  │  │    │          │  │  │  │  │  │      却被均匀压缩
├────┼──┼──┼────┤          ├──┼──┼──┼──┼──┤
│    │  │  │    │          │  │  │  │  │  │
│    │  │  │    │          │  │  │  │  │  │
└────┴──┴──┴────┘          └──┴──┴──┴──┴──┘
   近处格子大                  格子大小沿深度没有
   远处格子小（近大远小）        正确的透视递减

屏幕空间直接插值时，远处与近处的格子被"均匀拉平"，地板看起来像被向前压扁，透视感消失。颜色与法线的插值同理出错，只是没有纹理这么直观。

问题出在哪：透视除法（除以 $w$）对 $x$、$y$ 是非线性的，而线性插值与非线性变换不可交换。这一篇把这个坑的机理讲清楚，并给出修正公式。

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2. 推导

2.1 记号约定

设三角形三个顶点 $V_0$、$V_1$、$V_2$（它们已位于视图空间，见 坐标空间总览）。对某个属性 $A$（UV、颜色、法线分量……），顶点处取值 $A_0$、$A_1$、$A_2$。

屏幕上一点 $P$ 在三角形内，屏幕空间重心坐标为 $(\alpha, \beta, \gamma)$，满足 $\alpha + \beta + \gamma = 1$（面积比定义见 纹理映射）。

错误做法（屏幕空间直接插值）：

$$A_{wrong} = \alpha A_0 + \beta A_1 + \gamma A_2$$

这个式子在世界空间里插值是对的，但 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 是在屏幕空间里量出来的——两个空间的重心坐标不相等。

2.2 关键事实：屏幕坐标是视图坐标除以深度

透视投影下（见 坐标空间总览），裁剪空间 $w = -z_{view}$，透视除法后屏幕坐标为：

$$x_s = \frac{x_e}{z_e}, \quad y_s = \frac{y_e}{z_e}$$

（$z_e$ 取正深度，符号约定不影响推导。）也就是说：屏幕坐标是视图坐标的线性函数除以深度。

同样地，屏幕空间的重心坐标 $(\alpha, \beta, \gamma)$ 是由屏幕坐标定义的线性关系：

$$P_s = \alpha (V_0)_s + \beta (V_1)_s + \gamma (V_2)_s$$

把每个屏幕坐标按 $x/z$ 展开：

$$\frac{x_p}{z_p} = \alpha \frac{x_0}{z_0} + \beta \frac{x_1}{z_1} + \gamma \frac{x_2}{z_2}$$

对 $y$、$z$（NDC 的 $z$ 同样是 $z$ 的分式线性函数）各有一个同样的方程。联立可解出一个关键结论——屏幕空间重心坐标换算到视图空间，需要按 $1/z$ 重新加权：

$$\frac{1}{z_p} = \alpha \frac{1}{z_0} + \beta \frac{1}{z_1} + \gamma \frac{1}{z_2}$$

即片元深度的倒数是顶点深度倒数的线性插值。

2.3 属性的正确插值

视图空间里，属性随位置线性变化（线性插值在本空间内正确）：

$$A_{correct} = \alpha' A_0 + \beta' A_1 + \gamma' A_2$$

其中 $(\alpha', \beta', \gamma')$ 是视图空间的重心坐标。它与屏幕空间重心坐标的关系（由上面的换算推出）：

$$\alpha' = \frac{\alpha / z_0}{\alpha / z_0 + \beta / z_1 + \gamma / z_2}, \quad \beta'、\gamma' 同理$$

代入整理，得到透视校正插值（perspective-correct interpolation）公式：

$$A_{correct} = \frac{\alpha \dfrac{A_0}{z_0} + \beta \dfrac{A_1}{z_1} + \gamma \dfrac{A_2}{z_2}}{\alpha \dfrac{1}{z_0} + \beta \dfrac{1}{z_1} + \gamma \dfrac{1}{z_2}}$$

用裁剪空间的 $w$（$w_i = z_i$，仅差符号）写就是教科书常见形式：

$$A_{correct} = \frac{\sum_i \alpha_i \dfrac{A_i}{w_i}}{\sum_i \alpha_i \dfrac{1}{w_i}}$$

结论：可插值的不是属性本身，而是"属性除以 $w$"——分子分母各做一次屏幕空间线性插值，再相除。因为除以 $w$ 抵消了透视除法的非线性，两次线性插值都在"除以 $w$ 后的世界"里成立。

注：这类"先除、插值、再除回"形式的量称为双曲线插值（hyperbolic interpolation），因为插值结果对屏幕坐标是分式（双曲线）函数，而不是线性函数——远处属性变化被自然压密，正是透视该有的样子。

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3. 数值例子

用两个顶点的线段（退化成"一维三角形"）验证。设线段两端：

• $V_0$：视图空间 $(0, 0, 1)$，属性 $A_0 = 0$，即屏幕 $x_0 = 0/1 = 0$
• $V_1$：视图空间 $(1, 0, 4)$，属性 $A_1 = 1$，即屏幕 $x_1 = 1/4 = 0.25$

取屏幕中点 $x_p = 0.125$，对应线性权重 $\alpha = \beta = 0.5$。

错误做法：

$$A_{wrong} = 0.5 \times 0 + 0.5 \times 1 = 0.5$$

透视校正：

$$A_{correct} = \frac{0.5 \times \dfrac{0}{1} + 0.5 \times \dfrac{1}{4}}{0.5 \times \dfrac{1}{1} + 0.5 \times \dfrac{1}{4}} = \frac{0.125}{0.625} = 0.2$$

验证 $0.2$ 是否正确：屏幕 $x_p = 0.125$ 的点，视图空间应满足 $x_e / z_e = 0.125$ 且落在线段上（$z_e = 1 + 3t$，$x_e = t$，$A = t$）：$t / (1 + 3t) = 0.125 \Rightarrow t = 0.2$。属性真实值正是 $0.2$——校正公式正确，屏幕中点对应的属性偏向了近处顶点（近处顶点在屏幕上"占据"了更多区间，属性变化也应更慢）。

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4. 硬件如何实现

透视校正插值不需要你在着色器里手写——光栅化硬件对 in/out 变量的插值默认就是透视校正的。硬件的实现策略：

1. 顶点着色器输出裁剪空间坐标与属性后，硬件对每个可插值属性预乘 $1/w$（同时单独插值 $1/w$ 本身）；
2. 光栅化时对 $A_i / w_i$ 与 $1 / w_i$ 分别做普通的屏幕空间线性插值；
3. 片元着色器读取前，用 $(A/w)_{插值} \div (1/w)_{插值}$ 还原出 $A$。

除法与乘法分摊到每个片元，代价由硬件摊薄。正交投影下 $w$ 恒为 1，公式退化为普通线性插值——两种投影共用同一套硬件逻辑。

4.1 noperspective：故意关掉校正

GLSL 提供插值限定符关闭这个行为（见 glsl语法 的插值限定符）：

// 顶点着色器
noperspective out vec2 screenUV;
// 片元着色器
noperspective in vec2 screenUV;   // 按屏幕空间线性插值，不做透视校正

适用场景：属性本来就定义在屏幕空间上——全屏后处理的坐标、某些 UI 参数。它们不需要（也不应该）被透视校正。

注意：flat（不插值，取 provoking vertex 的值）与 noperspective（线性但不校正）是两回事：前者用于实例 ID、整数属性这类"图元内恒定"的数据，后者用于"屏幕空间意义上线性"的数据。

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5. 与深度的关系

有一个容易混淆的相邻问题：片元的深度（NDC 的 $z$）本身也是插值出来的，但它不是线性插值。

由本篇第二个关键事实，$1/z$ 在屏幕空间线性插值，等价地：NDC 的 $z$ 在屏幕空间按双曲线插值（先插 $1/z$ 再取倒数）。这正是 视图（摄像机）与投影 注与 深度缓冲 深度精度一节的来源：

• 视图空间的 $z$ 被 $z_{ndc} = a + b/z$ 的形式非线性压缩：近处一小段深度占满 $[0,1]$ 的大区间，远处一大段深度挤在尾部；
• 两个工程对策也由此而来：控制 near/far 比值（压缩程度由它决定）、reverse-z（反转映射方向，利用浮点数在 0 附近精度高的特性，见 深度缓冲）。

而硬件存进深度缓冲、参与深度测试的正是这个非线性 $z$——深度测试比较的是"非线性深度"，结果只受相对远近影响，不受非线性影响；非线性只在"精度分布"上体现为远处更容易 z-fighting。

量	屏幕空间插值方式	说明
颜色、UV、法线等顶点属性	透视校正（除以 $w$ 插值再还原）	硬件默认行为
$1/w$（深度倒数）	线性插值	硬件内部使用
NDC 深度 $z$	双曲线（非均匀）	由 $1/z$ 线性间接得到，精度近密远疏
noperspective 标记的属性	线性插值	显式关闭校正，用于屏幕空间属性

一句话总结：透视除法是非线性的，一切"跨越透视除法还想保持线性"的插值都必须按 $1/w$ 加权——属性插值如此（本篇），深度精度分布如此（深度缓冲），ShadowMap与PCF、PCSS 在光源空间比较深度时同样如此。

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